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Dans le plan des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques satisfont les égalités suivantes :
![{\displaystyle {\begin{cases}\sin z&=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }}={\frac {\sinh(\mathrm {i} z)}{\mathrm {i} }}=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}}\\\cos z&=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2}}=\cosh(\mathrm {i} z)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{\left(2k\right)!}}\\\tan z&=\displaystyle {\frac {\sin(z)}{\cos(z)}}=-\mathrm {i} {\frac {\sinh(\mathrm {i} z)}{\cosh(\mathrm {i} z)}}=-\mathrm {i} \tanh(\mathrm {i} z)=-\mathrm {i} {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6497a2be41079229316bd528ea07d140b310ca4c)
De même que leurs
fonctions réciproques ![{\displaystyle \arcsin z=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc1825fc6b5b665f69943785e8ce008c8219808)
,
![{\displaystyle \arccos z=-\mathrm {i} \ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35bd79672605cc5934d96e1fd6ebb85908e946c6)
et
![{\displaystyle \arctan z={\frac {\mathrm {i} }{2}}\left[\ln \left(1-\mathrm {i} z\right)-\ln(1+\mathrm {i} z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0761e030769776419f62c8411dccba7a95f7a4)
. Ces fonctions réciproques souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le
logarithme complexe.
Rappel :
.
Pour tous nombres complexes a et b, on a par exemple
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(a+b)&=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b\\\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ee11563c15ea9c524d90998bf90fac3331dad0)
Démonstration
d'où (en remplaçant b par ib) :
Pour les autres fonctions trigonométriques, on fait de même. Pour tan, cot, tanh et coth, Il vaut mieux utiliser leurs définitions, soit
![{\displaystyle \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}},\quad \cot z={\frac {\cos z}{\sin z}},\quad \tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}},\quad \coth z={\frac {\cosh z}{\sinh z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ae35d4200de9ab3ef11d957faa021a2854fa03)